专家讲解|数学之谜:梅森素数与周氏猜测

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· 7月19日

在现如今,人们对于梅森素数和周氏猜测的问题越来越重视。那么,梅森素数和周氏猜测是什么?它们又如何成为数学之谜呢?

图片来源@视觉中国

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钛媒体注:本文作者黄立新(计算数学专家,现供职于加拿大滑铁卢大学数学院),钛媒体经授权发布。  

素数,又称“质数”,是在大于1的整数中只能被1和其自身整除的数(如2、3、5、7、11等等)。2300年前,古希腊数学家欧几里得在《几何原本》一书中就已证明素数有无穷多个,并提出一些素数可写成2^P-1的形式(如3=2^2-1、7=2^3-1、31=2^5-1、127=2^7-1、8191=2^13-1等)。

2^P-1形式的素数有许多独特的性质和无穷的魅力,千百年来一直吸引着众多的数学家(如笛卡尔、费尔马、菜布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代、图灵等)和无数的数学爱好者。而17世纪法国数学家、法兰西科学院奠基人马林•梅森是其中成果较为卓著的一位,因此后人将2^P-1型的素数称为“梅森素数”(Mersenne Prime);它是由梅森数(Mersenne Number,常记为Mp=2^P-1)而来。

梅森素数貌似简单,但探究难度却极大;它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧,而且还需要进行艰巨的计算。例如1772年,有“数学英雄”美名的瑞士数学家、物理学家欧拉在双目失明的情况下,靠心算证明了2^31-1(即2147483647)是第8个梅森素数,该素数是当时已知的最大素数。在“手算笔录”的年代,人们历尽艰辛,一共才找到12个梅森素数。由于梅森素数珍奇而迷人,它被人们誉为数学宝库中不可多得的瑰宝。

电子计算机的诞生,尤其是分布式计算的出现,人们已发现39个梅森素数。其中第51个梅森素数是2^82589933-1(即2的82589933次方减1),它有24862048位数,也是目前人类已知的最大素数。如果用普通字号将这个巨数打印下来,它的长度将超过100公里!

梅森素数探究是当今科学的一个重要研究领域。由于梅森素数具有重要的理论意义和实用价值,全球目前有200多个国家和地区近25万人参加了一个名为“互联网梅森素数大搜索”(GIMPS)的国际合作项目,并动用了超过247多万核的中央处理器(CPU)来寻找新的梅森素数。因此,仅从人力、物力方面来说,对梅森素数的探究在数学史上前所未有,在科学史上也极为罕见。

梅森素数是数论探究的一项重要内容,也是当今科学探索的热点和难点之一。至今梅森素数仍有一些不解之谜,如它是否有无穷多个?它有什么分布规律?这些难题还有待破解;正如德国数学家希尔伯特曾经所言:“我们必须知道,我们必将知道!”

人们在寻找梅森素数的同时,对这一素数的分布规律也做了探究。例如法国、英国、德国、美国、印度的数学家都尝试过这方面的研究,并以近似表达式给出了猜想;其结果均与实际情况有一定的差距,难以尽如人意。一直以来,许多数学家都以为梅森素数的分布是随机的。

然而,中国数学家、语言学家周海中却认为梅森素数的分布有规律可循。在好奇心的驱动下,他经过长期而艰辛的研究,并根据已知的该素数及其排列,巧妙地运用联系观察法和不完全归纳法,在1992年出版的《中山大学学报》(自然科学版)上正式提出了这一震惊数学界的猜想。后来,这一重大的科研成果被国际上命名为“周氏猜测”。

周氏猜测的基本内容为:当2^(2^N)<P<2^(2^(N+1))时,Mp有2^(N+1)-1个是素数。周海中并据此做出推论:当P<2^(2^(N+1))时,Mp有2^(N+2)-N-2个是素数(注:P为素数;N为自然数,即0、1、2、3、4等等;Mp为梅森数)。

美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格认为:周氏猜测具有创新性,开创了富于启发性的新方法;其创新性还表现在揭示新的规律上。法籍华人数学家李明达在著名的《科学美国人》(中文版)中指出:周氏猜测是梅森素数研究中的一项重大突破。由中国数学家、中科院院士张景中主编的《30年科技成就100例》一书也指出:周氏猜测不仅是一项重大突破,而且具有数学之美。

周氏猜测的表达式貌似简单,但破解(证明或证否)它的难度却很大。困扰数学界的这一猜想已有30年历史;不过就目前研究文献来看,许多数学家和数学爱好者都尝试过破解它,虽然绞尽脑汁,但仍一无所获。然而,我们坚信:在大家的努力下,随着数学方法和计算工具的改进,不久的将来周氏猜测一定会被破解。

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